Praštevila
t = 0,0pot ζ(½ + it) · kompleksna ravnina

Vizualno potovanje v petih nivojih

Praštevila so videti kot kaos. Njihov ritem pa narekuje ena sama krivulja.

Zgoraj vidiš pot ene same točke, ki se zvija po ravnini. Vsakič, ko gre skozi središče, se nekje v svetu praštevil zgodi nekaj zelo natančnega. Do konca te strani boš razumel, zakaj – in kje ta zgodba danes obtiči.

Začni vzpon – nivo 1 Izberi vstopno točko ↓

Lestev

Pet nivojev, vsak težji in globlji od prejšnjega

Če že veš, kaj je praštevilo, začni višje. Če ne veš ničesar, začni pri prvem; ne boš ga obžaloval.

  1. 1AtomiKaj so praštevila in zakaj jih je neskončno mnogo
  2. 2RedkostKako gosta so praštevila in kaj je Gauss uganil
  3. 3MostEulerjeva čudna enakost: vsota števil = produkt praštevil
  4. 4GlasbaRiemann: ničle funkcije zeta so »toni« praštevil
  5. 5Kje stojimo danesDokazi, računalniki, naključne matrike in odprta vprašanja

O strani

Kaj je ta stran?

Obljuba poštenosti

Povedal ti bom, kdaj nekaj le skiciram z mahanjem rok in kdaj je trditev dokazana. Kar je domneva, bo pisalo, da je domneva. Računi, ki jih vidiš, so izvedeni resnično, ne naslikani.

Obljuba začudenja

Ob vsakem nivoju boš nekaj videl, česar ne bi pričakoval: red v naključju, glasbo v seštevanju, naključne matrike iz fizike v čisti teoriji števil.

Zasebnost: stran ne pošilja ničesar nikamor. Tvoj napredek (obiskani nivoji, odprti paneli, tema) se hrani samo v tvojem brskalniku. Delo je izvedeno brez sledilnikov in zunanjih knjižnic; vse slike so risane na mestu.

Nivo 1

Atomi

Kaj so praštevila in zakaj jih nikoli ne zmanjka

Predznanje: tabela množenja

Vzemi 12 kamenčkov. Razporediš jih lahko v 2 vrsti po 6, v 3 po 4, v 4 po 3 ali 6 po 2. Vzemi 13 kamenčkov in poskusi isto: razen ene dolge vrste ali 13 stolpcev ne uspe nič drugega.

Števila, ki se ne dajo razporediti v pravokotnik, so praštevila. Vsa ostala števila so iz njih sestavljena, kot so molekule sestavljene iz atomov. In kot v kemiji se takoj vprašaš: koliko je teh atomov? Jih je končno mnogo? Kje so? Imajo kakšen vzorec?

Najstarejši znani način iskanja je več kot dva tisoč let star in je skoraj otročje preprost: prečrtaš vse, kar ni praštevilo. Poskusi sam.

Eratostenovo sito, korak za korakom

Pri vsakem koraku vzamemo najmanjše še neprečrtano število (modro) in prečrtamo njegove večkratnike (rdeče). Zakaj se ustavimo že pri 7? Ker je naslednje praštevilo 11 in 11² = 121 je že izven tabele. Kdor ni deljiv z nobenim številom do 10, je praštevilo.

Po štirih korakih je ostalo 30 števil z zlatim okvirjem. To so vsa praštevila do 120. Je med njimi kakšen vzorec? Včasih bi rekel, da je, pa se zgodi vrzel; potem pride spet par blizu skupaj (101, 103). Zdi se, da jih ni mogoče napovedati. Zato je upravičeno vprašanje, ali jih sploh kdaj zmanjka.

Euklid je pred približno 2300 leti odgovoril s presenetljivo kratkim dokazom. Zamisel: recimo, da imaš seznam praštevil. Pomnoži jih vse in prištej 1. To število ni deljivo z nobenim s seznama (pri vsakem ostane ostanek 1). Zato mora imeti prafaktor, ki ga na seznamu ni. Seznam torej nikoli ni popoln.

Euklidov dokaz: poskusi zlomiti seznam
Izberi praštevila za svoj »popoln« seznam:

Poskusi z 2, 3, 5, 7, 11, 13: produkt + 1 je 30031, ki ni praštevilo (59 · 509). Pogosto napačno razumljen detajl: dokaz ne trdi, da je produkt + 1 praštevilo, trdi samo, da ima nov prafaktor.

Dokaz je gladek, a nam ne pove nič o tem, kje praštevila so. Za pogled od daleč ima matematika zabaven trik. Zapiši števila v spiralo (Ulamova spirala) in označi praštevila.

Ulamova spirala: red ali naključje?

Na praštevilski spirali se pokažejo poševne črte, na naključni ne. Praštevila torej niso naključna na navaden način, a vzorec je zahrbten: poševne črte so polinomi, kot je n² + n + 41 (daje praštevila za n = 0 … 39).

★ Zakaj 1 ni praštevilo in zakaj je razcep enoličen ★☆☆

Osnovni izrek aritmetike pravi, da se vsako število večje od 1 zapiše kot produkt praštevil na en sam način (do vrstnega reda). Primer: 60 = 2 · 2 · 3 · 5. Če bi 1 šteli med praštevila, bi lahko pisali 60 = 1 · 2 · 2 · 3 · 5 = 1 · 1 · 2 · 2 · 3 · 5 in enoličnosti ne bi bilo. Definicijo prilagodimo izreku, ne obratno.

Enoličnost ni samoumevna: v nekaterih drugih številskih sistemih ne drži (npr. v številih oblike a + b√−5 je 6 = 2 · 3 = (1 + √−5)(1 − √−5)). Pri običajnih celih številih drži, in prav zaradi tega lahko praštevila združimo v Eulerjev produkt na nivoju 3.

★ Največje znano praštevilo ★★☆

Največja znana praštevila so skoraj brez izjeme Mersennova praštevila 2p − 1, ker zanje obstaja posebej hiter test (Lucas–Lehmer). Oktobra 2024 so v projektu GIMPS odkrili 2136 279 841 − 1, število z okoli 41 milijoni decimalnih mest.

Pri tem je pomembno razlikovati: to je najnovejši znani rekord. Praštevil je neskončno mnogo, torej večjih vedno obstaja; mi jih le še nismo našli.

★ Praštevila v aritmetičnih zaporedjih ★★★

Poševne črte v spirali so namig na nekaj globljega. Dirichlet je leta 1837 dokazal, da vsako aritmetično zaporedje a, a + d, a + 2d, … vsebuje neskončno mnogo praštevil, če sta a in d tuji. Torej je neskončno praštevil oblike 4k + 1 in neskončno oblike 4k + 3. Za dokaz je Dirichlet izumil funkcije, ki jih danes imenujemo L-funkcije, sorodnice funkcije zeta s tretjega nivoja.

Kaj zdaj veš

Praštevila so atomi vseh števil, jih je neskončno mnogo, in kljub temu da izgledajo naključno, na slikah kažejo nekaj reda. Naslednje vprašanje je skoraj nespametno naravno: ko jih je neskončno, koliko jih je do vsake meje?

Nivo 2

Redkost

Kako gosta so praštevila in kaj je Gauss uganil

Predznanje: naravni logaritem, branje grafa

Med prvimi sto števili je 25 praštevil, torej vsako četrto. Med števili do milijon jih je 78 498: vsako dvanajsto. Praštevila redčijo, to je jasno. Ali pa to počno po kakšnem zakonu?

Okoli leta 1792 je mladi Gauss, ki je imel pred sabo tabele praštevil, ugotovil, da je približna gostota praštevil okoli števila x enaka 1/ln x. O tem je pisal šele desetletja pozneje. To ni dokaz, to je slutnja, ki je bila potrjena šele po stotih letih.

Stopnice praštevil π(x) in dve približni krivulji
π(x) – natančnox / ln xLi(x)

Drsnik na malih mejah kaže jasne stopničke, pri velikih pa gladko krivuljo. Cyan (x / ln x) sistematično podcenjuje, vijolična Li(x) je zlati stopnici veliko bližje in pri velikih x skoraj sede skupaj.

Natančneje: praštevilski izrek pravi, da je razmerje med π(x) in x / ln x v neskončnosti enako 1. Dokazala sta ga leta 1896 neodvisno Hadamard in de la Vallée Poussin, in to prav z lastnostmi funkcije zeta, o kateri bo tekla beseda na nivoju 3 in 4. Hkrati pa je ta formula slabša, kot bi si mislili. Poglejmo število za številom.

Resnična števila praštevil do 10k
Do 10⁸ sem števila izračunal sam s sitom v čistem Pythonu; 10⁹ in 10¹⁰ sem preveril s segmentiranim sitom v Node.js. Višje vrednosti so iz objavljene tabele (OEIS A006880), Li − π pa sem izračunal sam z 60-mestno aritmetiko.
xπ(x)π(x) / (x / ln x)Li(x) − π(x)

Razmerje π(x) / (x / ln x) pada proti 1 neverjetno počasi (pri 10²⁴ je še vedno 1,019), medtem ko je razlika Li(x) − π(x) vedno pozitivna in – glede na velikost števil – drobna. Za to je zaslužna vijolična krivulja.

Do zdaj imamo povprečje. Ali se posamezna praštevila obnašajo, kot da bi jih nekdo metal z naključnimi kovanci, ki so bolj pristranski, čim večje je število? To je Cramérjev model in preizkusimo ga na vrzelih med zaporednimi praštevili.

Vrzeli med praštevili proti naključnemu modelu
dejanske vrzelinaključni model (eksponentna porazdelitev)

Skupna oblika se ujema z eksponentno porazdelitvijo, a model je le približen: dejanski podatki mešajo vrzeli iz različnih velikosti, razen vrzeli 1 (med 2 in 3) so vse vrzeli sode, zato je histogram narisan samo za sode vrzeli, in vrzeli, deljive s 6, so opazno pogostejše.

★ Zakaj ravno 1/ln x? ★★☆

Namig daje sito. Praštevilo okoli x ne sme biti deljivo z nobenim manjšim praštevilom p. Verjetnost, da je naključno število deljivo s p, je 1/p, torej da ni, je 1 − 1/p. Če to pomnožiš po vseh p do √x, dobiš (po Mertensovem izreku) približno 2e−γ/ln x ≈ 1,12/ln x. Pravi odgovor je 1/ln x; razlika pride od tega, da dogodki niso neodvisni. Hevristika je vodilo, ne dokaz.

★ Li(x) je boljši od x / ln x, a ne vedno ★★★

Za vse x, ki jih kdaj lahko preveriš, je Li(x) večji od π(x). Gauss je to slutil; videti je kot zakon. Pa ni: Littlewood je leta 1914 dokazal, da razlika π(x) − Li(x) neskončno mnogokrat zamenja predznak. Skewes je leta 1933 pod pogojem Riemannove domneve omejil prvo menjavo predznaka z gromozanskim številom 10101034, pozneje so mejo brezpogojno in močno znižali. Današnja najboljša znana meja je okoli 10316, kar je še vedno izven dosega neposrednega štetja.

★ Čebišov in funkcija ψ(x) ★★★

Namesto štetja praštevil lahko vsako praštevilo p in njegove potence pk uteži z ln p. Dobiš Čebišovljevo funkcijo ψ(x). Je matematično elegantnejša in bo na četrtem nivoju stala v središču dogajanja: eksplicitna formula, ki jo je našel Riemann, je najlepša za ψ.

Kaj zdaj veš

Praštevila redčijo kot 1/ln x in praštevilski izrek to potrjuje, Li(x) pa ocenjuje število praštevil presenetljivo natančno. Ostaja skrivnost: od kod pride ta napaka in zakaj je tako majhna? Odgovor se skriva v neskončnem seštevanju, ki ga je Euler prvi povezal s praštevili.

Nivo 3

Most

Vsota vseh števil je produkt vseh praštevil

Predznanje: potence, vsota geometrijske vrste

Do zdaj sta bila svet praštevil (multiplikativen: množenje, prafaktorji) in svet števil (aditiven: seštevanje 1 + 2 + 3 + …) ločena. Leta 1737 ju je Euler povezal z enakostjo, ki je videti skoraj nemogoča.

Vzemi vsa naravna števila, vsako dvigni na potenco −s in seštej. To je vsota na levi. Na desni vzemi samo praštevila, in za vsakega izračunaj ulomek 1 / (1 − p−s), potem vse pomnoži.

ζ(s)=∑n=1∞1ns=∏p11−p−s

Zakaj to drži? Vsak faktor 1 / (1 − p−s) je vsota geometrijske vrste 1 + p−s + p−2s + … Ko pomnožiš vrste za vse praštevila, dobiš vsoto členov, ki jih lahko izraziš kot produkt potenc praštevil – in po osnovnem izreku aritmetike se vsako naravno število pojavi natanko enkrat. Enoličnost razcepa je torej točno tisto, kar naredi enakost resnično.

Tukaj Eulerjev produkt preizkusi sam. Izberi s, in opazuj, kako hitro se vsota in produkt približujeta pravi vrednosti ζ(s).

Vsota proti produktu: kdo se prej približa?
napaka vsote Σ n ≤ Mnapaka produkta p ≤ M

Ko je s velik, se oboje hitro ujame. Ko s približaš 1, konvergenca pojema, ker bi pri s = 1 vsota postala neskončna. Pri s = 2 je vrednost π²/6 = 1,6449 …, kar je prvi presenetljiv rezultat, ki ga je Euler našel.

Most v obe smeri: če bi bilo praštevil končno mnogo, bi bil produkt pri s = 1 končno število. A leva stran je pri s = 1 harmonična vrsta 1 + ½ + ⅓ + ¼ + …, ki raste čez vse meje. Torej praštevil ne more biti končno mnogo. To je Eulerjev dokaz neskončnosti praštevil, in – kar je pomembneje – kaže, kako so lastnosti ζ(s) pri s = 1 povezane z vsem praštevilskim svetom.

Še več: Euler je dokazal, da vsota obratnih vrednosti samih praštevil 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + … tudi raste čez vse meje, a neznansko počasi.

Vsota 1/p narašča, a komaj
Σ 1/p za p ≤ xln ln x + 0,2615

Premakni miško (ali prst) po grafu.

Zlata in modra krivulja se skoraj prekrivata. Konstanta 0,2615 … je Mertensova. Do milijona je vsota samo okoli 2,9, in da bi prišla do 10, bi potrebovala x z več kot 9000 števkami.

★ Drugačen pogled: verjetnost, da sta dve števili tuji ★★☆

Izbereš dve naključni naravni števili. Verjetnost, da sta obe deljivi s praštevilom p, je 1/p². Da torej p ne deli obeh, je 1 − 1/p². Če to velja za vse p, je verjetnost, da sta števili tuji, produkt Π(1 − p−2) = 1/ζ(2) = 6/π² ≈ 0,608. Brez tvoje pomoči se pojavi π v praštevilih.

★ Analitično nadaljevanje in »1 + 2 + 3 + … = −1/12« ★★★

Vrsta za ζ(s) divergira za s ≤ 1, vendar obstaja ena sama gladka funkcija (z analitičnim nadaljevanjem), ki se na območju s > 1 ujema s tem, kar smo definirali, in ima smisel povsod, razen pri s = 1, kjer ima pol. Ta razširjena funkcija v točki s = −1 zavzame vrednost −1/12.

To ne pomeni, da je vsota naravnih števil −1/12: vsota 1 + 2 + 3 + … divergira. Pomeni, da razširjena funkcija v točki −1 ima to vrednost. Naslov »seštevek je −1/12« je okrajšava, ki zavaja.

★ Dirichletova serija in kaj je »L-funkcija« ★★★

Če števila n pomnožimo s prikladnim »uteževalcem« χ(n), dobimo Σ χ(n) n−s, tako imenovano Dirichletovo L-funkcijo. Z njo je Dirichlet dokazal, da je neskončno praštevil v aritmetičnih zaporedjih. Vsaka taka funkcija ima svojo različico Riemannove domneve (posplošena Riemannova domneva).

Kaj zdaj veš

Funkcija ζ(s) je »praštevilski DNK«: vsota po številih in produkt po praštevilih sta ista stvar, in to ločuje samo osnovni izrek aritmetike. Naslednje vprašanje je drzno: kaj, če s ni realen? Kaj se zgodi, ko vstopimo v kompleksno ravnino?

Nivo 4

Glasba

Ničle funkcije zeta so toni, iz katerih so sestavljena praštevila

Predznanje: kompleksna števila kot točke v ravnini

Leta 1859 je Bernhard Riemann, ob sprejemu v berlinsko akademijo, napisal osemstranski članek o številu praštevil pod dano mejo. V njem je naredil tri stvari, ki so spremenile matematiko. Najprej je v ζ(s) dovolil kompleksna števila s. Nato je funkcijo razširil na celotno ravnino. In nazadnje je zapisal formulo za praštevila, ki jo določajo ničle te funkcije.

Opazuj, kaj počne ζ(s), če s hodiš po navpični premici z realnim delom ½: s = ½ + it, kjer t narašča. Ker je rezultat kompleksno število, ga narišemo kot točko v ravnini.

Pot točke ζ(½ + it)

Vsakič, ko krivulja prečka zlato izhodišče, je ζ(½ + it) = 0. Prva tri prečkanja so pri t ≈ 14,13, 21,02 in 25,01. Na tem delu krivulje so vse te ničle točno na premici; vprašanje je, ali to velja za vse.

Dobra novica: ker je funkcija na kritični premici posebna (zaradi funkcijske enačbe je ζ(½ + it) do faktorja prave »faze« realno število), jo lahko narišeš na običajni graf. Tej realni različici pravimo Hardyjeva funkcija Z(t). Njene ničle so ničle zete, in vidiš jih kot prečkanje osi.

Hardyjeva funkcija Z(t): ničle kot prečkanje osi

Kolikor ničel vidiš v oknu, toliko jih je. Ni jih mogoče zgrešiti, ker graf mora prečkati os, kadar spremeni predznak. Tako sta Hardy in nato računalniki iskala ničle.

Zdaj najpomembnejše: kje v kompleksni ravnini ležijo vse ničle? Poleg »dolgočasnih« trivialnih ničel pri −2, −4, −6, … so vse ostale ničle (njihovo število je neskončno) v pasu med realnima deloma 0 in 1: v kritičnem pasu. Riemann je izračunal nekaj in zapisal, da je »zelo verjetno«, da ležijo vse na premici z realnim delom ½. Dokaza ni imel, in tudi nihče po njem ne.

Zemljevid: kritični pas in ničle

Senčeno območje je kritični pas. Vse narisane ničle (zlate pike) so na premici (cyan), ne ker bi jih tja risal, ampak ker so tako izračunane: izračunane so z isto formulo kot na ostalih grafih. Preverjeno število je več kot 1012; pravi rezultat za vse pa nihče ne zna dokazati.

In zdaj nastopi glasba. Riemannova »eksplicitna formula« pravi, da lahko Čebišovljevo funkcijo ψ(x), ki skače ob praštevilih, napišemo kot gladek del x plus vsoto valov, po enega za vsako ničlo ρ = ½ + iγ:

ψ(x)=x−∑ρxρρ−ln2π−12ln(1−x−2)

Vsaka ničla prispeva val, ki niha kot cos(γ ln x), z amplitudo √x / |ρ|. Zato je Riemannova domneva v resnici trditev o velikosti teh valov: če je realni del enak ½, nobena ničla ne udari močneje od √x. Opazuj: z drsnikom dodajaj ničle in opazuj, kako se gladka krivulja uči skakati.

Gradnja praštevil iz ničel – eksplicitna formula
ψ(x) – natančnox − vsota po n ničlah − ln 2π − ½ ln(1 − x⁻²)

Pri 0 ničlah imaš gladko premico. Ko dodaš prvih deset, se pojavijo grbine, ki sledijo skokom. Pri 200 ničlah so skoki ostri in na pravih mestih – ob potencah praštevil 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 … Valovi preko skokov (robni pojav, ki ga poznamo iz Fourierovih vrst) so normalni.

★ Funkcijska enačba in simetrija ★★★

Riemann je dokazal, da ζ(s) in ζ(1 − s) povezuje natančna enačba (z gama funkcijo in sinusom). Posledica: če je ρ ničla, je ničla tudi 1 − ρ, in ker je funkcija realna na realni osi, tudi konjugirana vrednost. Ničle so torej simetrične glede na kritično premico. Domneva pravi, da je simetrija taka, da se vse ničle »sklopijo« natanko na premici.

★ Kako ničlo izračunaš ★★★★

Ena pot je Eulerjeva–Maclaurinova vsota (uporabil sem jo za podatke na tej strani): funkcijo ζ(s) napišeš kot končno vsoto prvih N členov in popravek z Bernoullijevimi števili. Za visoke t se uporablja Riemann–Siegelova formula, ki potrebuje le okoli √(t/2π) členov. Programe za 1012 ničel in več poganja ta formula in spretno uporabljen hitri Fourierov transform.

★ Kje so ničle in kako jih je veliko ★★★

Število ničel z 0 < γ ≤ T je približno (T / 2π) ln(T / 2πe) + 7/8 (Riemann–von Mangoldt). Za T = 100 to da okoli 29, in res jih je 29. Gostota ničel torej počasi raste; pozneje bo pomembno, da razmike med ničlami normiramo glede na to gostoto.

Kaj zdaj veš

Praštevila so »glasba«, katere toni so ničle funkcije zeta. Če so vse na kritični premici, so vsi toni enakomerno glasni, in napaka v štetju praštevil je najmanjša možna, približno √x. Kje stojimo z dokazom? In zakaj fiziki o tem govorijo?

Nivo 5

Kje stojimo danes

Računalniki, fiziki in dokazi, ki so skoraj, a ne čisto tam

Predznanje: nivoji 1–4

Zadnji nivo je najbolj pošten. Povedal ti bom, česa nihče ne zna dokazati, a tudi to, zakaj mnogi matematiki ne dvomijo o resničnosti domneve. Dokazov ni, so pa tri vrste dokazov, ki niso dokazi: številke, ki jih je preverjeno veliko, strukturni vzorci in presenetljive povezave.

Prvo presenečenje: razmiki med ničlami so ... kvantni

Leta 1972 sta Hugh Montgomery in Freeman Dyson ob čaju v Princetonu ugotovila, da formula, ki jo je Montgomery izpeljal za korelacije med ničlami, ustreza formuli, ki jo fiziki poznajo iz jedrskih energijskih nivojev in naključnih matrik (GUE). Odlyzko je to v osemdesetih letih potrdil z računanjem ogromnega števila ničel. Ničle se ne mečejo naključno (kot Poissonovi dogodki), temveč se »odbijajo«, kot energijski nivoji težkih jeder. Preveri na dejanskih ničlah.

Razmiki med zaporednimi ničlami: zeta proti naključnim matrikam
razmiki med 649 ničlami (t ≤ 1000)GUE (Wignerjev približek)Poisson: e−s

Razmiki niso nikoli blizu 0 (ničle se odbijajo), pa tudi ne pogosto veliki. Zlate palice sledijo cyan krivulji, ne vijolični. Pri tako nizkih višinah (t ≤ 1000) so odstopanja od asimptotskega GUE znana, zlasti pri majhnih razmikih; Odlyzko je z milijardami ničel na veliko večjih višinah dobil bistveno boljše ujemanje.

Drugo presenečenje: dvom, ki ga ima en sam znan primer

Obstaja še en način, kako se Riemannova domneva pokaže v praštevilih. Möbiusova funkcija μ(n) je +1, −1 ali 0, odvisno od prafaktorjev števila n. Seštevek M(x) je videti kot naključen sprehod. Če je res tak, bi ga pričakovali v velikosti √x, in prav to je enakovredno Riemannovi domnevi (v obliki M(x) = O(x½+ε)). Mertens je leta 1897 domneval še močnejšo trditev: |M(x)| < √x. Napačna je; Odlyzko in te Riele sta jo leta 1985 ovrgla, čeprav nihče ne pozna konkretnega protiprimera: vemo samo, da obstaja.

Sprehod M(x) in meja ±√x
M(x)±√x

Premakni miško po grafu.

M(x) ostane lepo znotraj ±√x. Do x = 106 je razmerje |M(x)| / √x največ 0,83 (že pri x = 13). Mertensova domneva pade šele pri neznansko večjih številih, in to je lekcija: »do 106 drži« ni dokaz.

Tretje: napaka v štetju praštevil

Če Riemannova domneva drži, je napaka π(x) − Li(x) po absolutni vrednosti manjša od (√x · ln x) / (8π) za vse x ≥ 2657 (Schoenfeld, 1976). To je ena izmed mnogih ekvivalentnih oblik: domneva je trditev o tem, kako dobro Li(x) šteje praštevila.

Napaka π(x) − Li(x) proti Schoenfeldovi meji
π(x) − Li(x)± √x ln x / (8π) (velja pod RH)

Premakni miško po grafu.

Napaka je vedno negativna (Li(x) je večji od π(x)) in z veliko rezervo znotraj meje. Nepričakovana: krivulja ima tudi rahle valove – to so tisti isti toni iz nivoja 4.

Časovnica: kaj je dokazano

  1. 1859 Riemann objavi članek »O številu praštevil pod dano mejo« in omeni domnevo.
  2. 1896 Hadamard in de la Vallée Poussin neodvisno dokažeta praštevilski izrek: nobena ničla ni na premici z realnim delom 1.
  3. 1900 Hilbert uvrsti domnevo med svoje probleme.
  4. 1914 Hardy dokaže, da je na kritični premici neskončno mnogo ničel.
  5. 1974 Deligne dokaže analog domneve nad končnimi polji (Weilove domneve); Levinson: vsaj ⅓ ničel na premici.
  6. 1989 Conrey: vsaj 2/5. 2020 Pratt, Robles, Zaharescu, Zeindler: več kot 5/12.
  7. 2021 Platt in Trudgian: vse ničle do višine 3 · 1012 ležijo na premici. Računalnik lahko domnevo kdaj ovrže, dokazati je ne more.
  8. 2024 Guth in Maynard dokažeta novo zgornjo mejo za število ničel, ki bi ležale daleč od kritične premice; posledica so boljše ocene za praštevila v kratkih intervalih. Domneve ne dokažeta.
  9. 2026 Poročilo, da je delež ničel na premici najmanj 2/3. Članek je izšel pri Anthropicu, sorodno delo sta objavila Alpöge in Furman; po poročanju je pri tem sodeloval umetnointeligenčni model. Ne dokazuje domneve in recenzije nisem mogel potrditi.

Ob tem: Zhang je leta 2013 dokazal, da obstaja neskončno parov praštevil z razliko manj kot 70 milijonov; Maynard in projekt Polymath sta mejo znižala na 246. To je sorodna, a drugačna zgodba (sita, ne zeta).

Preveri se

Tri hitra vprašanja

★ Kaj je enakovredno Riemannovi domnevi ★★★★

Zbirka trditev, ki je vsaka enakovredna domnevi: |π(x) − Li(x)| < (1/8π) √x ln x za x ≥ 2657; M(x) = O(x½+ε) za vsak ε > 0; |ψ(x) − x| < (1/8π) √x ln² x za x ≥ 73,2; in številne druge. Ker je teh povezav toliko, je domneva središče stolpa, ki ga ni mogoče podreti, ne da bi se porušilo vse nad njim.

★ Hilbert–Pólya in iskanje operatorja ★★★★★

Najstarejša strategija: iskati samoadjungiran operator, katerega lastne vrednosti so γ. Če bi takšen operator obstajal, bi bile vse ničle ½ + iγ z realnim γ, in domneva bi bila dokazana. Berry in Keating sta predlagala, da je operator povezan s klasičnim sistemom s hamiltonovko H = xp. Nihče ni našel pravega operatorja; pot ostaja odprta.

★ Domneva nad končnimi polji: dokazana! ★★★★

Za krivulje nad končnimi polji je analog domneve res dokazan (Weil za krivulje, 1940-ta; Deligne za višje razsežnosti, 1974). Dokazi so zelo geometrični in jih ni mogoče neposredno prenesti na naravna števila, ker nimamo »krivulje«, nad katero bi živela. A pričajo, da so ideje prave.

Kaj zdaj veš

Riemannova domneva je še odprta, preverjena na vsaj 3 · 1012 ničlah, delno dokazana za delež ničel, in globoko povezana s fiziko naključnih matrik. Kje se bo zgodba nadaljevala: ali bo kdo našel operator, bo morda dokaz prišel iz povsem druge smeri? To vprašanje je odprto zate prav tako kot za vsakega profesionalnega matematika.

Zaključek

Od kamenčkov do kvantnega kaosa

Začeli smo z dvanajstimi kamenčki, ki se ne dajo razporediti v pravokotnik, in končali pri ničlah funkcije, ki se obnašajo kot energijski nivoji težkih jeder. Vmes je bil en sam vzorec: praštevila so atomi števil, njihova gostota ima gladko glavno obliko, odstopanja od nje pa so »glasba« z neskončno toni. Vsak ton ima svoj val in svojo frekvenco, in vprašanje, ali so vsi enako glasni, še vedno nima odgovora.

Če si pozabil, kako se vse začne, se vrni k situ iz prvega nivoja in ga ponovi z novimi očmi. Zdaj veš, da je vsak prečrtan večkratnik majhen delček iste zgodbe. Hvala, da si prišel do konca.

Viri

Na čem temelji ta stran

Česa nisem mogel preveriti

Tudi to velja povedati

Podatki za ničle zeta (649 ničel do t = 1000), krivuljo ζ(½ + it), vrednosti π(10k) do 108, razliko π − Li in Mertensovo funkcijo so izračunani na mojem računalniku v čistem Pythonu, ne prepisani. Prvih pet ničel se ujema s tabelami (14,134725; 21,022040; 25,010858; 30,424876; 32,935062), in 649 ničel do 1000 ustreza znanemu številu.

Slovarček

Pojmi, ki jih srečaš na poti

Praštevilo
Naravno število, večje od 1, ki je deljivo samo z 1 in s samim seboj. Prva so 2, 3, 5, 7, 11, 13 … Število 2 je edino sodo praštevilo.
Sestavljeno število
Naravno število, večje od 1, ki ni praštevilo; lahko ga zapišemo kot produkt manjših števil, npr. 12 = 3 · 4.
Eratostenovo sito
Stara metoda iskanja praštevil: v tabeli števil prečrtaš večkratnike vsakega praštevila; kar ostane, so praštevila.
Osnovni izrek aritmetike
Vsako naravno število, večje od 1, je produkt praštevil, in to na en sam način (če ne štejemo vrstnega reda). Zato praštevila imenujemo »atomi« števil.
Števec π(x)
Število praštevil, ki niso večja od x. Npr. π(10) = 4 (to so 2, 3, 5, 7). Z znamenjem π za krožno konstanto nima nobene zveze.
Logaritemski integral Li(x)
Funkcija Li(x), ki je integral od 2 do x izraza 1/ln t. Zelo natančno ocenjuje π(x). (V literaturi se pogosto uporablja li(x) z integralom od 0; razlika je konstanta, približno 1,045.)
Praštevilski izrek
Izrek (Hadamard in de la Vallée Poussin, 1896), ki pravi, da razmerje π(x) / (x / ln x) gre proti 1, ko gre x proti neskončnosti.
Eulerjev produkt
Enakost ζ(s) = Σ n⁻ˢ = Π (1 − p⁻ˢ)⁻¹, kjer produkt teče po vseh praštevilih p. Vsota po vseh številih je enaka produktu po praštevilih.
Funkcija zeta ζ(s)
Funkcija, ki jo za s > 1 definira vrsta 1 + 2⁻ˢ + 3⁻ˢ + …, z analitičnim nadaljevanjem pa za vsa kompleksna števila razen s = 1.
Kompleksno število
Število oblike a + bi, kjer je i² = −1. Predstavimo ga kot točko v ravnini: a je vodoravna, b navpična koordinata.
Kritični pas
Pas kompleksnih števil z realnim delom med 0 in 1. Vse netrivialne ničle funkcije zeta ležijo v njem.
Kritična premica
Navpična premica v kompleksni ravnini z realnim delom ½, torej števila ½ + it.
Netrivialna ničla
Kompleksno število s, pri katerem je ζ(s) = 0 in ki ni negativno sodo celo število. Prva ima imaginarni del 14,134725 …
Trivialne ničle
Ničle funkcije zeta pri −2, −4, −6, … Razložene so s funkcijsko enačbo in niso skrivnost.
Riemannova domneva
Domneva, da imajo vse netrivialne ničle funkcije zeta realni del enak ½. Do danes ni dokazana ne ovržena; Clayjev inštitut zanjo ponuja milijon dolarjev.
Čebišovljeva funkcija ψ(x)
Vsota ln p po vseh potencah praštevil pᵏ ≤ x. Skoči ob vsakem praštevilu in njegovih potencah in je zato naravnejša od π(x).
Eksplicitna formula
Natančna enakost, ki izrazi ψ(x) z vsoto po ničlah funkcije zeta: ψ(x) = x − Σ xᵖ/ρ − ln 2π − ½ ln(1 − x⁻²).
Möbiusova funkcija μ(n)
μ(n) = 0, če je n deljiv s kvadratom praštevila; sicer +1 ali −1, odvisno od tega, ali ima n sodo ali liho število različnih prafaktorjev.
Mertensova funkcija M(x)
Vsota μ(n) za n ≤ x. Riemannova domneva je enakovredna trditvi, da M(x) raste počasneje od x na potenco ½ + ε za vsak ε > 0.
GUE (Gaussov unitarni ansambel)
Model naključnih matrik iz fizike. Razmiki med lastnimi vrednostmi se obnašajo tako kot razmiki med ničlami funkcije zeta.
Hardyjeva funkcija Z(t)
Realna funkcija Z(t) = e^{iθ(t)} ζ(½ + it). Ima iste ničle kot zeta na kritični premici, a jo lahko narišemo kot navaden graf.
Pol
Točka, kjer funkcija »eksplodira« v neskončnost. Funkcija zeta ima en sam pol, pri s = 1.
Analitično nadaljevanje
Postopek, s katerim funkcijo, definirano na manjšem območju, na en sam možen gladek način razširimo na večje območje.
Mersennovo praštevilo
Praštevilo oblike 2ᵖ − 1. Največja znana praštevila so skoraj vedno taka.
Vrzel med praštevili
Razlika med zaporednima praštevilima: med 7 in 11 je vrzel 4.
Harmonična vrsta
Vsota 1 + ½ + ⅓ + ¼ + …, ki raste čez vse meje, a zelo počasi.
Naravni logaritem ln x
Potenca, na katero moraš povzdigniti število e ≈ 2,718, da dobiš x. Raste počasi: ln 1000 ≈ 6,9, ln 10⁶ ≈ 13,8.
Funkcijska enačba
Zveza med ζ(s) in ζ(1 − s), ki pove, da so ničle simetrične glede na premico z realnim delom ½.